离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置11、速度-2，弹簧常数2，步长1/2。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | 11/-2/246 | 11/-2/246 1 | 10/-13/369 | 9/2/-13/419/2 2 | 7/2/-23/1107/2 | -17/4/-35/2/2739/8 3 | -8/-53/2/3321/4 | -87/8/-53/4/13187/32 4 | -85/4/-37/2/9963/8 | -193/16/-19/8/37971/128 5 | -61/2/11/4/29889/16 | -231/32/155/16/101411/512 6 | -233/8/133/4/89667/32 | 79/64/541/32/591603/2048 7 | -25/2/499/8/269001/64 | 1161/128/1003/64/3359939/8192 8 | 299/16/599/8/807003/128 | 3167/256/845/128/11457939/32768 9 | 449/8/899/16/2421009/256 | 4857/512/-1477/256/27953507/131072 10 | 2695/32/1/16/7263027/512 | 1903/1024/-7811/512/125644851/524288 11 | 337/4/-2693/32/21789081/1024 | -13719/2048/-17525/1024/802462211/2097152 12 | 2699/64/-5389/32/65367243/2048 | -48769/4096/-21331/2048/3288438483/8388608

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。